Sommige favoriete bladwijzers hebben iconen, andere niet.
Is dat te beïnvloeden?

Nee, tenzij je moeilijke dingen gaat doen. Het ligt aan de website zelf dat ze geen of verkeerd formaat 'favicons' (zo heten die dingen) meesturen.

Dank!

Toch heel curieus, twee Synology favicons naast elkaar, de ene wel, de andere niet.

Waar verwijst die tweede dan naar? Of heb je echt twee van die apparaten?

Precies, twee Synology nassen.
Met voor zover ik het kan nagaan dezelfde instellingen.

Zo zo . In dat geval is het vreemd ja als het om dezelfde apparaten met dezelfde softwareversie gaat. Kan ik niet verklaren!

Verwijder de bladwijzer en voeg opnieuw toe, dat wil wel eens helpen.

Misschien even het favicoontje van Diskstation-1 in de web-omgeving (op dezelfde plek) neerzetten bij Diskstation-2 ? 

Of tip van @Flix eerst proberen ?