"On my Mac" is de map in Mail waaronder de lokale Mailmappen worden opgeslagen. Als je dus de IMAP mappen van Ziggo "sleept" naar "On my Mac" dan zet je ze lokaal op je schijf/ssd neer.
Als je dan toch gaat slepen, kun je beter zowel je oude als je nieuwe IMAP account in Mail installeren, tegelijkertijd, en dan van de ene naar de andere kopiëren. Die nieuwe IMAP account kan bijvoorbeeld een Gmail account zijn. Maar die suggestie was al gegeven, geloof ik.